Hexágono perfecto

Hoy Aysha ha tenido su clase de guitarra semanal. Esto no sería reseñable, si no fuera porque, debido a ello, los miércoles le cuesta terminar los deberes: hoy, mate, euskera y lengua.

Repasamos las operaciones de dividir entre 10, y multiplicar por 10 (sin hacer la operación, moviendo las comas), parece todo bien, le da a enviar y, tras un par de segundos de incertidumbre, todo aparece en verde: 10/10.

- Bieeeeeeeeen!!!
- Venga, ahora euskera.

Llegada la hora de irse a la cama (21:00), está a punto de terminar euskera; hoy no leeremos las pocas páginas habituales (antes Tom Sawyer, ahora uno de esos de alguna youtuber preadolescente metida a escritora... ejem...) de antes de dormir. Le echo una mano, y rematado, quedan dos ejercicios de determinantes.

Como siempre, me pide que no me vaya (por algún motivo, le cuesta estar sola concentrada en algo) y que me quede mientras termina. Su cama parece especialmente apetecible hoy. Sin pensarlo mucho, me tumbo mientras escucho el suave deslizar del boli sobre la hoja de ejercicios.

Sin darme cuenta, dejo mi mente en blanco, mirando al techo, una vez acomodada la almohada bajo mi cabeza. Es cómoda la cama, cuándo fue la última vez que me tumbé aquí? tal vez aquella vez que nos cambiamos y dormí aquí y Aysha con Nohe, sí, creo que pudo ser esa vez. Estrella de cinco puntas, recuerdo cómo las hacía de pequeño, de un trazo y sin levantar el boli del papel, igual que esas luminiscentes que pusimos esparcidas por el techo. Me quedaron bien repartidas, las distancias entre todas ellas parecen similares, bastante complicado para haber ido con la escalera de mano poniéndolas muy a ojo, pero sí, buen trabajo, sí señor. Y esa más pequeña es la típica de seis puntas, como dos triángulos superpuestos, uno hacia arriba, con el otro hacia abajo... sí, si te fijas, lo ves claramente. Seis puntas. Sí. Si juntas las puntas, te da un hexágono perfecto, como aquellos que en su día, no siendo mucho mayor que Aysha ahora, me enseño mi padre a hacer con aquel viejo compás, el primero que tuve...

Haces una circunferencia de cualquier radio, manteniendo ese radio, eliges un punto de la circunferencia, y pinchas ahí, y haces las dos marcas que te da el lado del lápiz, donde toque la circunferencia. En esas marcas, vuelves a pinchar, y marcas. En esa nueva marca, pinchas y marcas, pinchas y marcas, pinchas y marcas. La última marca, por arte de magia, coincide con la que hiciste al principio...

Ahora, con una regla, unes todas las marcas y ahí lo tienes, un hexágono perfecto, donde todos los lados son iguales (al radio), inscrito en la circunferencia original. Voilá!

Ostras, cómo narices sabía mi padre que eso iba a pasar? Sería posible demostrar que esto iba a pasar, que necesariamente tenía que ser así? Fijo que sí...

Vuelvo a ver el patrón de la estrella de las cinco puntas, pero no, deja eso, estamos a algo serio ahora. Esto te molaba mucho en la uni, llevarte un boli y algo que demostrar a la hora de comer, escribiendo en el mantel de papel en el comedor de Lertutxe... Normalmente no llegaba al postre el ejercicio, y me llevaba el trozo de mantel para ponerlo luego a limpio en el cuaderno. Podré hacer algo similar ahora?

Vamos a ver... el truco está en que, como se mantiene el radio entre las marcas, realmente estás haciendo 6 triángulos rotando desde la primera marca, para llegar a rellenarlo todo perfectamente, y obtener el hexágono... pero por qué 6?

La circunferencia son 360º, si caben 6 triángulos es porque cada uno se lleva 360/6 = 60º... vale, pero para llegar a tener calculado ese 6, deberíamos llegar, si es que este es el camino, a través de la cuenta opuesta... es decir, por algún lado saco yo ese 60º, y como el total son 360º, 360/60 = 6, con lo que queda demostrado (que se decía entonces en la uni...).

Vale, pero de dónde saco yo que ese ángulo del triángulo son 60º? Tres estrellas de 6 puntas me miran y si no fuera imposible, diría que se están cachondeando... mira mis dos triángulos solapados, y si nos juntas las puntas aquí está ese hexágono que buscas resolver... Dejadme en paz, soy Ulises atado al mástil, no dejaré que me distraigáis, descubriré vuestro secreto, antes de que Aysha termine los dos ejercicios de lengua.

Venga, va, qué tienen esos triángulos para que tengan que ser de 60º ese ángulo en el medio? Si puedo fijarlo, ya tengo el 6...

Jo, cómo se notan las ventanas nuevas, hoy ha hecho medio calorcillo, pero aún así, aquí a primeros de marzo, y tumbado sin calcetines, y tan tranquilo.

Centra hombre! por qué tendría que tener ese triángulo el ángulo con el que van rotando esos 60º? A ver, cada uno de esos lados del vértice, son el radio de la circunferencia... y el otro? Claro! el otro... también!!!

Ya lo tengo! Cada lado es el radio, porque llega a la circunferencia, y el arco entre marca y marca, también es ese radio, porque lo hemos hecho con el compás, sin moverlo, misma distancia. Por tanto, se trata de un triángulo equilátero, los tres lados son iguales. Y qué tienen también iguales los triángulos equiláteros? Los triángulos equiláteros son también equiángulos (en la geometría en la que estamos, vamos a dejar esto así...), es decir, los ángulos también son iguales.

Y esto qué más da? Pues todo, porque si los tres ángulos son iguales, tiramos de otra típica: los ángulos de un triángulo suman 180º ;) Es decir, cada uno de esos ángulos iguales, tiene que ser, por narices, 180/3 = 60º. Y ahí tenemos el 60 que buscábamos.

Como ese ángulo central donde se pegan esos triángulos tiene que ser de 60º, en una vuelta completa de 360º, tiene que dar, por narices, 6 triángulos. Es decir, 6 lados de longitud el radio de la circunferencia, que van "avanzando" inscritos en la misma, hasta cuadrar perfectamente, como las marcas iniciales.

Ahora sí QED (Quod erat demonstrandum).

Toma! Realmente es geometría básica, simple, de esa chula que te lleva a un método para crear hexágonos perfectos, aunque no quieras, mientras Aysha termina por poner que "aquellos" es un determinante demostrativo de lejanía (o algo así, esto ha cambiado desde mis tiempos), masculino, plural.

Lavarse los dientes, echar el último pis del día, y aquí vuelve, justo cuando terminaba de cachondearme ahora yo de esa estrella de seis puntas, la primera en la que me fijé. Ahora ya me sé tu secreto...

- Aita, perdón por tardar tanto, es que hoy con guitarra y había muchos deberes...
- No pasa nada, son sólo las 21:18.
- Ala qué bien! Me has dejado la cama calentita!
- Ves qué bien?

... y esto diera para post? Hace cuánto que no cuentas algo? Tal vez demasiado para recordarlo... lo que no implica que este momento no se digno de sí ser recordado. Ea pues, dale.

P.D: El Barsa acaba de pasar a la final de la Copa del Rey... lo de este equipo este año en Copa sí que da pa serie...

Física para Padres: En el parque

A Aysha le encanta ir al parque. Y sabe cuándo vamos. Incluso lo sabe cuando no vamos. A más de 100m de cualquiera de los parques infantiles de Durango, nos mira con cara de emoción y apunta con el dedo mientras nos suplica con esos ojillos "paaaa-queeee".

Más allá de derretirnos con semejante escena, que a veces tiene un final feliz, pero a veces no, el parque se ha convertido en otro de los centros sociales de una niña de 2 años (el primero es la guarde, claro...).

Allí se ríe, juega con otros niños/as, corre, salta, sube escaleras, baja resbalando por el tobogán, pone carita y vocecita para pedir "galleeeeeta" a quienquiera que tenga una, ... de todo. Ah, y se enfada con quien ose arrimarse a su juguete olvidado en un banco al grito de "emiiiiiiiio".

Pero casi sin duda su elemento favorito del parque es el columpio (el "dilín-dalán" para ella).

Desde el primer día que fuimos, desde que apenas se sujetaba sentada, le encanta el columpio. Se puede tirar más de media hora mirando el mundo desde ese balanceo del que parece no cansarse nunca. Cuando finalmente lo hace, simplemente basta un "yastá" para bajar.

Al principio era fácil empujar una masa de 3-4kg en un péndulo simple, casi era un descanso que pidiera el columpio, porque así no tenías que estar medio agachado maltratando tu espalda llevándola de la mano mientras entrenaba sus primeros pasos.

Pero luego. Ay! luego... luego la masa va creciendo y al final te encuentras empujando 10kg y con agujetas en los brazos y hombros antes del "yastá".

Y lo peor era ver que no era el único. Aquellos padres/madres que me llevaban ventaja hacía tiempo que habían cambiado el dolor de espalda por el dolor de brazos y un "hoy te toca dar a ti". Es lo que tiene esto de ser padre, que se va aprendiendo todo sobre la marcha, por mucho que te digan que pasará esto o eso (a ti siempre te pasará "aquello" y no tendrá nada que ver, pero este es otro tema).

Así pues ese dolor y la mirada contemplativa de Aysha me llevó a perderme en mi mente y finalmente a recordar aquella clase de física de segundo curso en la universidad en la que se hablaba de los sólidos rígidos, los péndulos (sólidos o no), caídas no libres, y demás... y de repente lo vi claro.

Los fundamentos del péndulo simple describen el movimiento de la masa (Aysha o cualquier niño/a balanceándose en el columpio), que viene dado por la gravedad y una pila...

... un pila?

Sí, una pila de padres/madres empujando...

Quiero decir, que tras el primer empujón, o el primer estirón para dejarlos caer, el movimiento viene afectado por la única fuerza que es la gravedad (aquello del 9.8m/s2 que recordaréis algunos, y sí, despreciamos el rozamiento del rodamiento...), y para ángulos pequeños (a Aysha le gustan cuanto más grandes mejor, pero casi es lo de menos...), como bien dicen en la web de la universidad donde hablan del péndulo simple, acaba siendo:

 (1)

que nos dice (con un par de cuentas), que el período de la oscilación con la que se mueve el columpio es:

Que seguro que no os dice mucho, pero es la clave de todo el asunto (l es la longitud de las cadenas del columpio, y g es el famoso 9.8 de siempre...).

Como todos sabemos, la tendencia de un columpio es que acabe parándose (y con Aysha pidiendo escuetos "más"), de manera que necesitamos un "generador" (o adulto empujador) para mantener la solicitada oscilación con una amplitud (ida y venida de adelante a atrás) constante.

Estamos, entonces, en frente de un péndulo simple forzado (empujado), donde ahora interviene la fuerza externa del pobre adulto que contenta al bebé.

Porque, claro, no es lo mismo (en general...) un padre que pega un arreón fuerte cada 3 idas y venidas que una madre que debe hacerlo a cada ida y venida porque arrea más débilmente. Esto suele entenderse más o menos bien, porque al final, la energía que debemos meter al columpio debe siempre contrarrestar a nuestra enemiga la gravedad (que, recordemos, tiende a parar la diversión...), para lo cual solemos tirar de la fuerza necesaria las veces que sean menester...

Pues bien, hay otra variable que afecta, además de la fuerza con la que empujemos o las veces que lo hagamos (que por cierto, ambas generan agujetas en los brazos...).

Estamos hablando, padres/madres sufridores, de la frecuencia de nuestra aplicación de energía. Esto ya es más raro, a que sí...

Vale, todos sabemos que tenemos que empujar repetidamente, cierto? Con más o menos fuerza, con más o menos frecuencia (más o menos veces), verdad? Pues esto significa que nosotros, empujadores, somos otra oscilación.

Y cuando dos oscilaciones se mezclan, una que se quiere parar y otra que quiere que la primera siga, tenemos que tener en cuenta cómo se "mezclan". Es decir, todos sabemos que si empujamos hacia atrás cuando el columpio está en el tope de delante, eso hace que siga. Pero qué pasa si empujamos hacia atrás cuando está en el medio viniendo hacia adelante? Exacto, que lo paramos. La fuerza que hacemos es la misma, lo que cambia es (tachán, tachán!!!): LA DIFERENCIA DE FASE!

Es decir, haciendo la misma fuerza, no es lo mismo hacerla cuando el columpio va o viene, y además es diferente si es en los extremos de la ida y venida o en el medio!

Casi todos hemos empujado desde los extremos, desde delante o desde detrás, y cuando llega al punto más alto, a que sí?

Pues sabed que si bien no lo estáis haciendo mal del todo, pero NO ESTÁIS SIENDO TODO LO EFICIENTES QUE PODRÍAIS! Es decir, podríais aprovechar mejor vuestros empujones (energía aplicada) para que el movimiento se mantenga... esto es, PODRÍAIS NO CANSAROS TANTO para mantener el mismo movimiento.

¿Cómo? Intentando entrar en RESONANCIA. Lo qué?!?!?! Intentando empujar en el punto y manera que se MAXIMICE la absorción de energía, para no tener que empujar tanto...

Vale, pero ¿cómo?!

Con este secreto: se maximiza que la energía del empujón se use para mantener el movimiento si empujáis cuando el columpio está en su punto más bajo (en el medio de la ida y vuelta), y en el sentido del movimiento.

Para ello, yo no me pongo ni delante ni detrás, sino AL LADO, justo debajo del "techo" del columpio, de manera que cuando Aysha pasa enfrente de mí yendo hacia adelante, empujo un poco y que siga... y cuando vuelve hacia atrás, vuelvo a empujar otro poco hacia atrás.

Y ya no tengo agujetas!!

Aunque tengo que decir, que me sigo fijando en el resto de adultos que siguen haciendo las cosas como se han hecho siempre, sin preguntarse si es la mejor manera de hacerlo... y no suelo poder evitar una sonrisa cuando veo a alguien frotarse los hombros mientras corre detrás de una personita de medio metro largo...

Otro día os contaré cómo es que luego se aprende a "darse uno mismo" y ya todo esto quedará obsoleto, porque, claro, si ya no hay empujadores, cómo se puede mantener la oscilación? :-O

Pista: tiene que ver con cambiar el centro de masas de la criatura (la sentada en el columpio...), aquí podéis ver lo que se puede llegar a hacer sin ayuda externa en un columpio.

¿De qué color es un electrón?

Como buen estudiante de física, y habiendo padecido la cuántica como el castigo de una dominatrix hasta llegar a amarlo por encima del odio sentido en los inicios del mismo, más de unauna vez y dos me he visto en medio de un debate acerca de cuestiones que realmente no pueden ser resueltas.

Para los más profamos, digamos que, en base a lo estudiado en la carrera, hablábamos del sexo de los ángeles, así, directamente, y sin pasar por la casilla de salida.

Creo que en algún otro post he hablado de esta cuestión, y de una de mis favoritas, es esta: ¿de qué color es un electrón?

Dado que un electrón es más pequeño que cualquiera de las longitudes de onda del visible humano, es imposible ver un electrón, en el sentido más cotidiano del término.

Pero bueno, uno en su locura se deja llevar por la imaginación y lo pregunta. Es decir, más que un razonamiento lógico que implique, como la resolución de un problema, decir un color correcto, se trata de un razonamiento de realismo mágico y dejarse llevar por el pensamiento y la intuición. Vale, no podemos verlo, pero si lo pudiéramos ver, ¿de qué color crees que sería?

Para mí, ese color siempre ha sido el amarillo. No sé por qué, será porque la electricidad me la imagino como un fluido amarillo y como tal, los electrones, cuyo movimiento genera la electricidad, me los imagino iguales.

Al margen dejaremos el hecho de que imaginarse un electrón como un perdigón redondo al estilo planetario y más clásico físicamente del mismo, es una patraña, porque a esos niveles de pequeñez de dimensiones, todo se difumina y la materia pasa a ser una nube de probabilidad física de existencia del electrón. Es decir, es jodido delimitar físicamente dónde está, de modo que identificar su color, ya sería la leche.

En fin, que para mí un electrón es una bola de oro de un amarillo intenso y brillante, muy energético, aunque sé que es sólo una abstracción mía.

Hasta que han tenido que llegar unos y joderme, en parte, mi ilusión...

Al menos me queda el consuelo de saber que la gama de colores no responde a otra cosa que unos valores medidos y representar un mayor o menor guarismo.

... que el no se consuela, es porque no quiere, como siempre...

Los Simpson y el Teorema de Fermat

Que Los Simpson se han convertido en la serie de referencia, no sólo humorística, sino científica de la actualidad está más que comprobado. Ciertamente, con este inicio, no es difícil adivinar que mi capítulo favorito de las andanzas de esta familia yanqui es aquél en el que Homer acaba con sus huesos en el duro suelo y babeando frente a una pastelería de pasteles eróticos.

Puede que nada especialmente particular, salvo que las dimensiones de la realidad simpsoniana en ese momento no son dos, sino tres.

Grandísimo capítulo que no me cansaré de ver una y otra vez. Y a pesar de ello, aún hay cosas que siguen sorprendiéndome al no haber caído en ellas.

Como estudiante de físicas es bastante inevitable acabar amando las odiosas matemáticas como un irónico síndrome de Estocolmo. Y en aquellos últimos años del milenio, aún coleaban los denominados problemas del milenio; una serie de problemas no resueltos completamente, y con cierto aire pretencioso, te interesabas por entender... al menos su enunciado.

Pues bien, uno de ellos, y que hila completamente con el capítulo mencionado de la serie mencionada, es el archimencionado teorema de Fermat.

El teorema viene a decir que X^n+Y^=Z^n sólo se cumple, siendo X, Y, Z números enteros, si n=2. Es decir, que aquello de que la hipotenusa al cuadrado es la suma de los catetos al cuadrado es el único de estos que se cumple, para n>2 no se cumple.

Parece muy sencillo, pero dudo que hasta el propio Fermat se pegó una bilbainada al decir que no le cabía la demostración en el márgen en el que la dejó escrita para quebradero de cabeza de matemáticos de las siguientes generaciones.

Finalmente, se acabó resolviendo, pero mira tú por donde, cuando ya se ha salvado uno de los mayores escollos de la matemática moderna, va, y en ese capítulo dedicado a mostrar un universo de una dimensión espacial más de la habitual, va, y muestran un contraejemplo...

Joder, menos mal que tiene truco que si no, era para hacérselo mirar... madre mía... una vez más, mis mayores respetos a esa banda de guionistas liderados por el creador Matt Groening, por hacer del guión de una serie animada un auténtico rompecabezas para menter inquietas.

¿Pero es real la matemática?

Vía menéame, he descubierto, por dos veces, una curiosa página de un friki de las mates con el que creo que acabaría haciendo buenas migas tras un repaso del álgebra de primero y unas cervezas.

En particular, he descubierto un post en el que explica la paradoja de Smale. Admito no haber oído hablar de este hombre en la vida, a pesar de haber compartido unos cuantos de mis mejores años con un estudiante de matemáticas. Y he descubierto, como ya intuía entonces, en mis tiempos de estudiante, que este área de conocimiento es mucho más interesante y divertido si no tienes la espada de Damocles de un examen a la vuelta de la esquina pendiendo sobre tu pescuezo.

En realidad, nunca supe nada de topología diferencial, que no tiene nada que ver con saber si este topo es el que viste ayer en tu jardín o no. Tal vez, de aquellas viejas charlas, me quede el recuerdo de saber que un donut es topológicamente igual que una taza, pero eso es algo tan trivial que casi me da vergüenza comentarlo. Aunque el post al que me refiero, y al que prefiero no poner un link a estas alturas de post, tiene que ver con esa parte de las matracas en particular.

La paradoja, que si bien no es tal como la entendemos en física, tiene que ver con la un tanto absurda idea de que se le puede dar la vuelta a una esfera. Pues vaya, dirá alguno. Bueno, es que no se trata de girarla, sino de poner la parte de dentro fuera y viceversa. Pues vaya, dirá el mismo u otro. Ya, pero es que la idea es que lo hagas sin necesidad de romper su superficie, sin necesidad, de lo que se llama, cortarla.

La idea en realidad es bien sencilla. Imagina la peladura de una naranja que rodea la propia naranja. ¿Crees que eres capaz de darle la vuelta a la misma sin romperla de tal modo que lo de fuera quede dentro y viceversa? Lo que sí puedes hacer, topológicamente, es estirarla todo lo que quieras, como si fuera de goma.

Yo no soy capaz de hacerlo... ni tú, ni en realidad nadie.

Lo que en el post llaman paradoja no es tal porque, topológicamente hablando es posible autointersecar la superficie, algo que en la realidad no es posible. Es por esto que aunque en el post se hable de paradoja, de hecho, en el mundo matemático se habla de este tema como tal, no lo es.

Paradoja es algo que si bien no parece serlo, o aparentemente parece contradictorio, en realidad ocurre y tiene una explicación, como la paradoja de los gemelos, por ejemplo.

Esto de Smale no deja de ser una curiosidad, muy interesante por otra parte, que me ha encantado meter en mi cabeza. Porque, y este es el verdadero motivo de este post, leyendo a los Gaussianos y viendo los vídeos a los que hace referencia, LO HE ENTENDIDO! TOMA!

No tengo las matemáticas tan olvidadas como pensaba...

... y no sé si eso es bueno o malo.